Matemágica
Múltiplos e Divisores - MDC
Divisor de um número é aquele que permite uma divisão exata desse número.
Necessário lembrar que estamos tratando apenas dos números naturais (inteiros, positivos e diferentes de zero, uma vez que não existe divisão por Zero).
Exemplo 1:
12 : 4 = 3 (resto zero; divisão exata; logo 4 é divisor de 12)
12 : 6 = 2 (resto zero; divisão exata; logo 6 também é divisor de 12)
Se 12 : 4 = 3 então 12: 3 = 4 (resto zero; divisão exata; logo 3 também é divisor de 12)
Se 12 : 6 = 2 então 12: 2 = 6 (resto zero; divisão exata; logo 2 também é divisor de 12)
Regra geral: O menor divisor de um número é 1 e o maior é o próprio número.
Podemos afirmar então que: 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são os Divisores de 12!
Escreve-se: D(12) = {1,2, 3, 4, 6,12}
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Exemplo 2:
16 : 8 = 2 (resto zero; divisão exata; logo 8 é divisor de 16)
16 : 4 = 4 (resto zero; divisão exata; logo 4 também é divisor de 16)
Se 16 : 8 = 2 então 16 : 2 = 8 (resto zero; divisão exata; logo 2 também é divisor de 16)
Regra geral: O menor divisor de um número é 1 e o maior é o próprio número.
Podemos afirmar então que: 1, 2, 4, 8 e 16 são os Divisores de 16!
Escreve-se: D(16) = {1,2,4,8,16}
Vejam que alguns números (1, 2, e 4), são divisores de 12 e de 16; são portanto divisores comuns a 12 e a 16.
Outra definição: Um número natural é fator ou divisor de outro número natural quando a divisão desse número pelo primeiro é exata, isto é, quando seu resto é zero.
Máximo Divisor Comum - MDC
Agora que sabemos que dois números podem ter divisores em comum, precisamos identificar qual o maior divisor comum a dois ou mais números, ou seja, o Máximo Divisor Comum entre esses números.
Para encontrá-lo vamos precisar:
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Relembrar Critérios de Divisibilidade
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Relembrar Números Primos (números divisíveis somente por eles mesmos e pela unidade) Ex: 2, 3, 5, 7, 11 ....
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Conhecer Fatoração em números primos
Fatoração em números primos (da mesma forma que foi feito para o MMC)
Forma prática de fatoração
O número a ser fatorado (112) deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo divisor primo os resultados deverão ser colocados na coluna da esquerda. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é reduzi-lo ao número 1.
Observe sempre a ordem sequencial crescente dos números primos.
Outro exemplo: Número 600 escrito na forma de potência.
Máximo Divisor Comum a dois ou mais números
Agora que você já sabe fatoração, conhece os números primos e revisou os critérios de divisibilidade já pode extrair o MDC de dois ou mais números.
No MMC buscamos o menor múltiplo, mas no MDC vamos buscar o maior divisor:
D(12) = {1,2, 3, 4, 6,12} e D(16) = {1,2,4,8,16} logo,
o MDC de 12 e 16 = 4
Como calcular o MDC de dois ou mais Números?
Note que 2 não é divisor de 15 e 3 não é divisor de 5, portanto não são divisores comuns
a 160 e 240 !
Resolva esses Problemas
Dica
São os mesmos números do exemplo acima
Em uma gincana na escola, cadastraram-se para participar, 240 meninas e 160 meninos. O organizador teria que formar alguns grupos de meninas ou meninos obrigatoriamente com a mesma quantidade de participantes. Quantos grupos ele conseguiu formar com a maior quantidade possível de integrantes?
Uma locadora de vídeo decidiu fazer uma liquidação de seu estoque que contém ao todo, 150 filmes de suspense, 120 filmes de comédia, 50 de shows musicais e 250 de outros gêneros. Para facilitar a escolha pelos clientes, serão separados em quantidades iguais nas prateleiras. Em cada uma, devem ser colocada a maior quantidade possível de DVDs, mas sem misturar os gêneros.
a) Quantos DVDs serão colocados em cada prateleira?
b) Quantas prateleiras serão necessárias?
Dois livros famosos de aventura, um com 176 páginas e outro com 240 páginas, serão divididos em fascículos para venda semanal nas bancas de jornais. Os fascículos serão montados com o mesmo e o maior número possível de páginas.
a) Quantas páginas terá cada fasciculo?
b) Em quantas semanas um colecionador terá os dois livros completos, considerando que ele compre todos os fascículos e que um livro seja vendido após concluída a venda do outro?